Динамическая устойчивость упругих систем

§ 54)

291

ПРИВЕдЕНИ\~ К дИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

где ср~т> (Р)- фундаментальные векторы задачи собственных колебаний. Подставив ряд (13.35) в (13.34) и воспользовав шись теоремой о разложении (или билинейной формулой для тензора Грина), получим после сравнения коэффициентов при одинаковых cp~ml (Р) систему обыкновенных дифферен циальных уравнений:

(т= 1, 2, 3, ...).

(13.36)

Эта система совпадает с (12.8) с той лишь разницей, что здесь

(13.37)

2. Допустим теперь, что фундаментальные векторы за дач собственных колебаний и статической устойчивости для состояний s~~~ и sя> совпадают. Но тогда cp~mJ должны )довлетворять условиям ортогональности (13.33) для ~~m). При этом все amn и bmn при т =1= n обращаются в нуль, и следовательно, система (13.36) распадается на отдель ные уравнения типа Матье-Хилла. Это и есть особы.IJ. случай. Вместо (13.35) можно предложить другой способ аппро ксимации. Каждую компоненту ui (Р, t) будем искать в виде ряда по функциям ер~т> (Р) с неизвестными пока коэффициен тами J~m) (t):

CXI ui (Р, t) = ~ Лт> (t) ср~т> (Р).

(13.38)

m=t

В отличие от этого в (13.35) искомый коэффициент принад лежит сразу «тройке» функций. Подстановка (13.38) в (13.34) lg.