Динамическая устойчивость упругих систем

29()

УРАВНЕНЙЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ CitCTEM

(ГЛ. Xlli

§ 64. Приведение к системам обыкновенных дифференциальных уравнениА 1. Будем исходить в дальнейшем из уравнений (13.16) и граничных условий ( 13 .17), полагая в них aik =- 11s\~-рФ (t) s~~. Здесь 11 и ~-параметры, с точностью до которых заданы компоненты напряженного состояния. Обычное приближение теории динамической устойчивости строится в предположении, что начальное состояние, кото рое варьируется, может быть отождествлено с равновесием. Это равносильно тому, что характеристики начального со стояния определяются квазистатически, т. е. при времени t, рассматриваемом как параметр. Тогда S\~ определяются от статической нагрузки р\ 01 и Х~ 01 , заданной с точностью до 11, а s~2-от амплитудного значения переменной нагрузки P\tl И XJtJ, заданных С ТОЧНОСТЬЮ ДО ~· Допустим, что компоненты внешней нагрузки не меняют при деформации ни своей величины, ни направления. Тогда ~Х;,=~Р;,=О. Применяя интегральную формулу (13.21) и производя преобразования типа тех, которые дают переход от (13.31) к (13.32), найдем, что уравнения (13.16) с гра ничными условиями (13.17) эквивалентны системе интегро дифференциальных уравнений р f а р Q д2uk (Q, t) V: ui ( ' t)- р (Q) ik ( ' ) дt2 d Q v _ f (0) (Q) дй1k (Р, Q) диk (Q, t) dV: _ 11 si, ае, a;i Q v ( 13.34) - ~Ф (t) f sЯ' (Q) aaikaf,· Q> аиkа~~· t> dV Q =о. v J J Уравнение (12.3) может быть получено отсюда как част ный случай. Решение системы (13.34) будем искать в виде

00 U;, (Р, t) = ~/т (t) !f/~'" 1 (Р),

(13.35)

111=1