Динамическая устойчивость упругих систем

284

УРАВНЕНИЯ УСТОЯЧИВОСТИ УПРУГИХ СИСТЕМ (ГЛ. Xlll

При помощи тензора. Грина решение уравнениЯ (13.19) с краевыми условиями (13.20) представляется в виде ui(P)= J Oik(P, Q)Xk(Q)dVQ+ J J Oik(P, Q)pk(Q)dSQ. у 8 (13.21) Здесь V- объем тела, S- его загруженная поверхность. · 2. Остановимся на некоторых своЯствах тен~ора Oik(P, Q). Из общих теорем классическоЯ теории упругости вытекают его симметричность Okk(P, Q):=Okk(Q, Р),} Oik(P, Q):=Oki(Q, Р) (13.22)

и положительность, т. е.

J J Oik(P, Q)uk(P)uk(Q)dVpdVQ>O v у

(13.23)

для каждого вектора uk (Р), отличного внутри V от нуля. Укажем также на связ~ тензора Грина с проблемоЯ ма лых колебания. Уравнения собственных малых колебаниЯ упругого тела получим из (13.19), применяя принцип Далам бера: д (\ дит) д2щ О дхk "ikmn дхп - р дt2 = . (13.24)

Здесь р-плотность тела в каждоЯ точке. ОбычноЯ nодста новкоЯ в (13.24)

получаем систему дифференциальных уравнениЯ д~k ( лikmn ~::) + pw'!~i =о.

Эквивалентная система интегральных уравнениЯ, как сле дует из (13.21), имеет вид 1fi(P)-Л f p(Q)Oik(P, Q)cpk(Q)dVQ=O, (13.25) . у