Динамическая устойчивость упругих систем

282

УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СИСТВМ (ГЛ. Xlll

Таковы уравнения динамической устойчивости однород ной и изотропной среды. При условии малости перемеще ниR в невозмущенном сосТQянии получаем: " д"Aui . д ( ди,) д3и, !J-~-ui +(Л+ :J.) дхi дхi + дхk aik дхi = р дt~ . (13.16) Легко получается обобщение на случай произвольной ани зотропии и неоднородности. Вместо (13.15) нужно взять общее соотношение 11aik = j'ikmr. 8 mn• где Лikmn-тензор упругих постоянных. Тогда, например, _дд (11aik) = _дд (лikmn ддит) • Xk Xk Xn 8. Граничное условие (13.8) для возмущенного движе ния имеет вид (8, 1+ ;;~ + ::~) (a1k+ 11aJk) nk = p,+I1Pi· Учитывая (13.10) и линеаризируя, получим: ( ~ + дfli ) А + дщ А (J•J -д. uaiknk -д ajknk = u.pi. Xj Xj Если пренебречь перемещениямиvi, граничное условие упро щается: (13.17) Здесь !1рi-изменение интенсивности поверхностной нагрузки в возмущенном движении. Рассмотрим различные случаи определения 11Pi· . Если поверхностная нагрузка остается неизменной как по величине, так и по направлению, то 11pi ==О. Если на грузка поворачивается вместе с направленным элементом поверхности, то (13.18) Например, в случае гидростатической нагрузки Pk = -pnk• где р-давление. Тогда граничное условие (13.17) примет вид