Динамическая устойчивость упругих систем

281

§ 52]

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОГО ТЕЛА

Уравнения (13.11) упрощаются: д!J.чk + д ( дщ) "' " д'lut дх~с дхk "ikдxi + 1.1~ч = Р дt'А. (13.12) 2. В уравнениях (13.11) и (13.12) vi и aik являются известными функциями, ui и .1aik- неизвестными. Чтобы исключить A.aik• нужно воспользоваться соотношениями, свя зывающими напряжения и деформации. Поскольку уравнения устойчивости линейны по отноше нию к возмущениям, мы вправе пользоваться законом Гука 1) Aaik = l..oiksii + 2р вik• ( 13 .13) г де Л и fJ.- постоянные Ляме, sii = s 11 + s 22 + s 63 • При этом деформации sik вычисляются по формулам (13.7), в которых опущены нелинейные члены: 1 (да;. да,,) sik=2 дхk + дх1 • (13.14) Для дополнительных напряжений A.aik получаем, таким обра зом, формулы , " диi + (диi диk) Aaik = Mik -д fJ. д-+ -д • xi Xk х 1 (13.15) Дифференцируя ( 13.15), суммируя по k и меняя обозна чение для «немых» индексов в последнем слагаемом, найдем:

где

1) Вместо более общих нелинейных зависимостей, например, закона Мурнагана (М о u r nа g h а n F., Finite deformation of an elastic solid. New York, 1951).