Динамическая устойчивость упругих систем

280

УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СИСТЕМ [гл. хщ

Будем различать два состояния тела. В первом состоянии, которое будем называть невоэмущенным, оно совершает установившиеся вынужденные колебания. Компоненты тен эора напряжений aik и компоненты вектора смещения vi для невоэмущенного движения, удовлетворяют уравнениям (13.6) д~J(aii+ ~:~)aik] +Xi = р ~~ (13.9) и условиям на поверхн?сти (13.8) (13.10) Наряду с невоэмущенным движением рассмотрим движе ние, отличающееся от него наличием малых возмущения напряженного и деформированного состояниЯ: ;ik = 0 ik + Aaik• Pi=Pi+APi• Xi=Xi+AXi• Ui = vi +иi. Уравнения возмущенного движения. примимают вид д~k [ (oiJ+ ~:~ + :~~) (aJk+AaJk>] +Xi+ !!.Xi = · дЗщ д2ui = р дtЭ + р дtЗ ' Учитывая, что параметры неваэмущенного движения свя з·аны уравнениями ( 13. 9), и отбрасывая малые величины вто рого порядка (такими величинами при условии ui ~ vi бу дут члены порядка AaJk ~~~), получим: д~k [ (aii+ :;) !!.aik] + д~k (aik ~:~) +t:.Xi = р д;;;. (13.11) Если вынужденные колебания происходят вдалеке от ре зонанса, то перемещения v, и ui можно считать величинами одного порядка и пренебречь. на этом основании произве л дщ , дениими uajk дх .. J