Динамическая устойчивость упругих систем

28 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ (ГЛ. J

неограниченно возрастающий экспоненциальный множитель. Если же характеристичесJ<ое число по модулю меньше еди ницы, то соответствующее решение с увеличением t зату хает. Наконец, если характеристическое число равно по модулю единице, то решение носит периодический (или почти периодический) характер, т. е. будет ограничено во вре мени. Пусть Тогда, как видно из (1.19), характеристические корни будут вещественными, причем один из них по модулю будет больше единицы. В этом случае общий интеграл уравнения (1.11) будет неограниченно возрастать со временем t t Tlap, Т lap 1 f(t) = C 1 "f.. 1 (t) е +C 2 z 2 (t) е . то характеристическое уравнение имеет комплексные сопря женные корни, и, поскольку их произведение должно быть равно единице, по модулю они также будут равны единице. Случай комплексных характеристических корней соответ ствует, таким образом, области ограниченных решений. На границах, отделяющих области ограниченных реше ний от областей, где общий интеграл неограниченно воз растает со временем, должно выполняться условие \/1 (Т)+ /~(T)J =2. (1.23) Полученным уравнением можно 'воспользоваться для опре деления границ областей динамической неустойчивости. Однако для его состаJ~ления нужно знать частные решения задачи по крайней мере на протяжении первого периода колебаний, что связано с серьезными вычислительными труд ностями. Лишь в некоторых частных случаях дифференциаль ное уравнение типа (1.11) может быть проинтегрировано в элементарных функциях. Один из таких случаев будет рассмотрен в следующеr.t цараграфе. Если же