Динамическая устойчивость упругих систем

278

[гл. х:rн

УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ СИСТЕМ

По внешнему виду уравнения (13.5) идентичны уравнениям движения классической теории упругости. Однако эдесь дифференцирование производится по координатам деформи рованноrо состояния, т. е. по параметрам, зависящим в ко нечном счете от искомых функций u 1 , и 2 , и 8 • Поэто му целесообразно преобраэовать уравнения (13.5), пе рейдя к лагранжевым переменным для недеформированноR среды. Отсылая за подробностями к специальным руководствам 1), выпишем уравнения для случая прямоугольной декартовой системы координат В этих уравнениях и ниже: ui- компоненты вектора сме щения в лагранжевых переменных х 1 , х 2 , х 8 ; х,-компо ненты объемной силы в тех же переменных, отнесенные к медеформированному состоянию; р-плотность медефор мированной . среды; aik- символ Кронекера; a~k-тенэор, который связан с объемной плотностью энергии для меде формированного состояния Ф (х 1 , х 2 , х 3 ) и тенэором дефор маций в лагранжевых переменных (13.6)

( 13. 7)

зависимостью

Дифференцирование в уравнениях (13.6) производится по координата~ медеформированной среды,. что дает 9преде ленные удобства. Тензор a:k' однако, нЕ! является «истинным» тензором напряжений. Известно, что он может быть выражен через тензор напряжений в лагранжевы.х перем~нных aik:

•· afk aik = dfi Vl + 2ekk • d.t';

1) См. книгу В. В. Новожилова, цит. на стр. 277.