Динамическая устойчивость упругих систем

§ 51] СВЕДЕНИЯ НЭ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ 277 § 61. Сведения из теории конечных деформаций 1. Существуют два способа описания конечных дефор ыациА сплошной среды 1). Во-первых, ыожно ввести систему координат х 1 , х 2 , х 6 (пряыоугольную декартову или криво· линейную), отнесенную к недефорыированной среде. Если соответствующие переыещения точек среды и 1 , и 2 , и 3 , то новые координаты будут: В противоположность этоыу способу описания (способ Лагранжа) в способе Эйлера эа неэависиыые переыенные принимаются коор-динаты точек деформированной среды (Е 1 • Е- 3 , Е 3 ). Связь ыежду обеиыи системаыи координат дается формулаыи (13.3). Допустим, что эйлерона система координат Е 1 , Е- 3 , Еs пряыоугольная декартова. Уравнения движения имеют вид 3 ~ д:;ik + Х· = d2u 1 ~ д;k ~ р df2 k=l (l= 1, 2, 3). (13.4) Здесь aik- компоненты тенэора напряжений, Xi- компо ненты объемной силы, отнесенные к единице объема в де формированном состоянии, р-плотность деформированной среды. В правой части берется полная (субстанциональная) проиэводная по времени. Как это принято в тенэорноы анализе, будем опускать знак суммы в тех случаях, когда суммирование произво дится по всем воэможныы эначенияы индекса (k = 1, 2, 3). Наличие пары одинаковых (или, как говорят, «немых») индексов указывает каждый раэ на то, что эдесь подразуме вается суммирование по этим индексам. Например, согласно указанному правилу уравнения (13.4) записываются в виде el = xl + ul (xl, х9, ~ = х2 + u2 (xl, х9, e,J = Хз + иu (xl'• х2, хз), ) хз), }. xs). J (13.3)

(13.5)

1) См., например, Н о в о ж и л о в В. В., Основы теории упругости, Гостехиэдат, 1948; К у т и л и н Д. конечных деформаций, Гостехиэдат, 1947. Изложение параграфа следует в основном первой книге,

нелинейной И., Теория настоящего