Динамическая устойчивость упругих систем

276

УРАВНЕНИЯ УСТОЯЧИJ!ОСТИ УПРНИХ СИСТЕМ (ГЛ. ХЩ

движения, граничные условия и уравнения связи между на пряжениями И деформациями составляются в системе КО· ординат медеформированного тела, без учета переме. щений, происходящих при переходе в деформированное со& стояние. Недостаточность такого описания видна на простейшем примере статического продольного изгиба сжатого стержня. Поставив эту задачу в духе классической теории малых деформаций, мы получим единственное решение, справедли· вое для всех значений сжимающей нагрузки. Лишь учf..т дополнительных внутренних сил, возникающих при отклоне нии стержня от начального положения, позволяет найти пра вильное решение. Выше было сказано, что при исследовании устойчивости достаточно ограничиться малыми, хотя и конечными дефор мациями. Поясним это замечание. Прежде всег:>, начальное состояние, которое варьируется, обычно х&.рактеризуется малыми деформациями и может быть, как правило, опреде лено методами классической теории. Исключение представляют случаи, когда потере устойчивости предшествуют большие деформации в первоначальном состоянии (статические или динамические). В то же время при составлении уравнений, описывающих возмущенное состояние, должны рассматри ваться конечные, нелинейные деформации. При деформации изменяются длины линейных элементов, площади и объемы. Влияние этих изменений на устой чивость обычно ничтожно мало и им можно пренебречь, счи тая, что относительные деформации достаточно малы по сравнению с единицей. Однако углами поворота и вообще безразмерными перемещениями по сравнению с единицей пренебрегать нельзя. Так, при решении задачи продольного изгиба сжатого стержня не считаются с изменением площади его поперечного сечения и длины, однако учитывают в то же время дополнительные силы, появляющиеся при пово­ . роте его поперечных сечений. И, наконец, последнее замечание. Если ставится задача об определении критических параметров (критических сил или критических частот), то они могут быть найдены из уравнений, которые получаются из уравнений возмущенного состояния после отбрасывания в них членов, содержащих возмущения в степенях выше первой.