Динамическая устойчивость упругих систем

§ 49)

269

ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ И ПРИЗНАКИ ЕГО СУЩЕСТВОВАНИЯ

Полагая, как и ранее,

N(x, t)=aN 0 (x)+?Nt(x)Ф(t), получим систему дифференциальных уравнений типа (12.28). § 49. Особый случаА и признаки его существования 1. В предыдущих параграфах было покаэано, что неэа висимо от выбора фундаментальных функций задачи дина мической устойчивости описываются системами дифферен циальных уравнений с периодическими коэффициентами одного и того же вида С ~t +lE-aA-~Ф(t)BJ/=0. (12.32) Однако структура коэффициентов существенно меняется с переходом от одноМ системы функций к другой. Так, если в качестве фундаментальных функций приняты формы соб ственных колебаний стержня Ч' (х), то матрица С будет диа гональной, в то время как матрицы А и В диагональными, вообще говоря, не будут. Наоборот, в том случае, когда в качестве фундаментальных функций приняты ф-функции, диагональной будет матрица А, а если нагрузка N 11 (x) и Nt (х) по своему виду совпадают,-то и матрица В. Для упрощения дальнейших выводов будем считать, что это по следнее условие выполняется. Пусть фундаментальные функции задач собственных ко лебаний и статической устойчивости совпадают 1), т. е. Ч'k(х) = ·~k(x). (12.33) В этом случае все три матрицы А, В, С одновременно при водятся к диагональному виду, а система диф:реренциальных уравнений (12.32) распадается на ряд отдельных уравнений, каждое из которых содержит по одной неиавестной функции: ~*+w~[1-a: -~Ф(t)]fi=O (i= 1, 2, 3, ...). (12.34) Этот частный случай, представляющий значительный ин терес, мы уже ранее (глава IX) назвали особым; рассмотрим

1) Точнее, совпадают с точностью до постоянного множителя, так как условия нормирования (11.21) и (11.39) различны.