Динамическая устойчивость упругих систем

268

(гл. хп

УРАВНFНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ

Для определения обобщенных сил Qi составим выраже ние для работы внешней нагрузки. Продольное перемещение вследствие деформации элемента длиной dx с точностью до величин второго порядка, как известно 1), dw= ~ (ZY dx. Работа, совершаемая продольной силой N(x, t) на этом перемещении, будет: dV=N(x, t)dw. Полная работа V=~- J N(x, t)(::Ydx о или после подстановки ряда (12.31) n n 1. V t ~ ~ , , ~~ N ) dz; dz" d =2 ~ ~JiJk, (х, t d~ ix х. i=t k=t о Обобщенная сила, соответствующая координате fi: п 1 дV ~ r dti dz'k Qi= дft =~А. N(x, t) d~ d~ dx. k=1 о Подстановка полученных выражений в уравнения Ла гранжа (12.30) дает: n 1 n l ~ d2fk r _. . ~, s da-1, d2Zk ~ dt2 . т (х) Zi"l.:k dx + ~ fk EJ (х) dx2 dx2 dx = k=t о k=t о n l = ~' rN(x t) dzt dzk dx ~Jk ' dx dx k=1 о (l = 1, 2, 3, ... , n).

1) Ось бруса считается несжимаемой,