Динамическая устойчивость упругих систем

266

[rя. хн

УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ

Отсюда, интегрируя по частям и полагая, как и ранее, Qk (О)= Qk (l) =О, получим: r d·u dx• P·k= N 0(x)--dx. 1 • dx dx о Эта формула уже не содержит пронаводных выше первого порядка и, следовательно, мечуветвительна к динамическим граничным условиям для Y..k (х). Те же результаты получим, трактуя метод Галеркима в смысле принципа возможных перемещений. Левую часть уравнения (12.27) следует рас сматривать как выражение для равнодействующей внешних и внутренних сил, приложеиных к единице длины стержня. Составляя работу этих сил на виртуальных перемещениях OfkY..k (х) и добавляя к ней работу сосредоточенных сил, после приравнивания суммы нулю придем к упомянутым выше результатам. Заметим в заключение, что формальный прием, анало гичный вариационному методу Галеркина, может быть при менен и к интегро-дифференциальному уравнению (12.3). Этот прием является развитием вариационного метода, известного под наименованием «метода моментов». Обозна чим через L,(v) и L~(v) результаты подстановки в уравне ние (12.3) рядов

00

и

со v(x, t)= ~fk(t)yk(x) k=1

соответственно. Тогда дифференциальная система (12.8) может быть получена из уравнения (12.3) путем примененив ·«обобщенного условия ортогональности» ' r L, (v) т (x)~i (х) dx =О ( l . 1• 2' 3' ... ), о