Динамическая устойчивость упругих систем

262

(гл. хн

УРАВНЕНИИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ

Обратное преобразование осуществлиетси матрицей с эле ментами 7 {V-1}· = rN, (х) do/t drt~t dx. Jk • 0 dx dx о Коэффициенты уравнений преобразуютси следующим об разом:

А<\1= V- 1 AcpV, в""'= v- 1 в'Pv. с<\1= v-tc'fv.

.

3. Остановимен вкратце еще на одной форме уравнений динамической устойчивости. Переписав уравнение в виде ~ia + С- 1 (Е- aA)j- ~Ф (t) с- 1 8/= О, попробуем выбрать такие оси координат, чтобы матрица с- 1 (Е-аА) стала диагональной. Уравнении динамической устойчивости в этом случае особенно упрощаются: n ~~~ +кi/i-~Ф(t) ~hikfk=O (i= 1, 2, 3, ... ). (12.24) k=1 Покажем, что такое преобразование равносильно прини тию в качестве фундаментальных функций форм собствен ных колебаний стержня, загруженного постоянной соста вляющей продольной нагрузки. Действительно, уравнение собственных колебаний загруженного ст.ержня имеет вид c~t +<Е-аА)/=0

и подстановкой

/(t) =и sin(2t+i)

приводится к уравнению

(E-aA-Q 9 C)u= О. Собственные частоты Q находятся из уравнения /С- 1 (Е-аА)-2 2 Е/=0,

(12.25)