Динамическая устойчивость упругих систем

253

§ 46)

ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

где ~fik(х)-фундаментальные функции ядра m(;)K(x, Е), т. е. решения однородного интегрального уравнения

1 !f!(Х)-Л f m(;)K(:X, e)!f'(E)de=O

(Л=ш 9 ), (12.5)

о

а fk (t)- неизвестные пока функции времени. Фундамен тальные функции в дальнейшем предполагаются нормиро ванными. Ряд (12.4) представляет собой, таким образом, часто применяемое разложение упругой кривой по формам соб ственных колебаниИ стержня. Равномерная сходимость этого ряда следует_ из основных теорем теории линеИных инте гральных уравнениИ; для доказательства сходимости доста точно применить теорему Гильберта-UJмидта к правой части выражения (12.1). Подставляя ряд (12.4) в уравнение (12.3) и меняя поря док интегрирования и суммирования, получим: 1 ~ '7t: J т (;) к (х. Е) cpk (е) d~ + k~t о 00 00 1 + ~ fkcpk (х)-а ~А s N 0 (е) дК~~· Е) д'~?> d;- k=1 k-1 о 1 - ~Ф(t) s NtiO дК~~· Е) дf~?) d; =О. (12.6) о 00

Из уравнения (12.5) следует, что

1 S т(';) К (х, Е) cpk (~) dE = 'fk ~х). о IJ)k

Далее, подставляя вместо К (х, ~) равномерно сходя щиИся ряд 00 К (х • Е)= ~ 'fi (х~~'' (Е)' i=1 '