Динамическая устойчивость упругих систем

252

(гл. хн

УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ

llepвoe слагаемое в правой части учитывает влияние сил liнерции, второе-влияние продольной силы, причем, как 11 раньше (§ 44), Q (Е. t) = - N (Е. t) дt1 ~~ t) • Преобразуем второе слагаемое, интегрируя его по частям: l z J К(х, e)dQ(E, t)=- f N(E, t) дК~, е)дv~~ t) dE. о о llодставив результат преобразования в (12.1), получаем liнтегро-дифференциальное уравнение относительно v(x, t): l v(x, t)+ J тЩК(х, Е) iJ2v~~'t) d;- o z - r N(E, t) дК~. е) дf/ ~~ t) d; =О. (12.2) 6 • ~равнение собственных колебаний (11.30) и ·уравнение ста­ '~'l!ческой устойчивости (11.38)- его частные случаи. В дальнейшем мы будем заниматься нагрузкой вида N(x, t)=aN 0 (x)+~Nt(x)Ф(t), rл.е Ф (t)- пекоторая периодическая функция периода 1' = 21t/O, а а и ~-параметры, с точностью до которых заданы постоянная и периодическая составляющие внешней liагрузки. Соответственно уравнение (12.2) перепишется в виде ! z v (х, t) + J т (е) К (х, Е) д2t1 ~~ t) d;-a J N 0 (E) дК~· е) Х о о l Х дt1 ~~· t) dE- ~Ф (t) f Nt (е) дК~· е) дt1 ~е t) dE =О. (12.3) о 2. Будем искать решение уравнения (12.3) в виде ряда

00 v (х, t) = ~ fk (t) q;k (х),

(12.4)

k-1