Динамическая устойчивость упругих систем

25

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ МАТЬЕ-ХИЛЛА

§ 2)

Преобраэование примет в этом случае простейший вид: оно сведется к простому умножению функций на некоторые постоянные /; (t + Т) = Pt/~ (t), ! /; (t+ Т)= Р2/; (t). ( 1.15) в отличие от (1.14) мы ввели здесь новые обозначения

ан= Pt• а29=Р11·

Из теории линейных преобразований известно (см., напри-· мер, десятую главу настоящей книги), что любое преобра· зование типа ( 1.14) может быть приведено к простейшему или, как говорят, диагональному виду, причем числа р 1 , 11 определяются из уравнения

1 =О,

( 1.16)

at2

а29-р

называемого хара~теристич.ес~и.м. 1).

2. Характеристическое уравнение играет важную роль в теории уравнения Матье-Хилла, поскольку, как мы увидим ниже, во многом определяет· характер его решений. Покажем, как составляется это уравнение. Пусть / 1 (t) и / 11 (t)- два линейно независимых решения уравнения (1.11), удовлетворяющие начальным условиям

/ 1 (О)= 1, /2(0) =о, /~(0)=0.! /2(0) = 1. J Тогда, полагая в (1.14) t=O, получим:

( 1.17)

ан =/1 (Т), a2t = /2 (Т).

1 ) Простоты ради мы опустили эдесь одну 1онкость, которая будет разъяснена позднее, а именно оставлен без рассмотрения случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корн11 при нелинеiiных элементарных делителях.