Динамическая устойчивость упругих систем

24 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ (ГЛ. 1 § 2. Некоторые свойства уравнения Мi!тье-Хилла 1. Рассмотрим уравнение f' + 9 9 [1- 2fl.Ф(t))/= О, (1.11) в котором Ф (t) есть некоторая ~ериодическая функция с периодом 2'1t Т= т· ( 1.12) Относительно этой функции будем предполагать, что она может быть представлена в виде сходящегося ряда Фурье k=l Обратим прежде всего внимание на· то, что уравне ние ( 1.11) не изменяет своего вида при добавлении к t периода. Это следует из того, что Ф (t + Т)= Ф (t). Поэтому если f(t)- какое-либо частное решение уравне ния ( 1. 11 ), то f (t + Т) такЖе является его решением. Пусть / 1 (t) и / 2 (t)- два каких-либо линейно независимых решения уравнения (1.11). Тогда на основании предыдущего / 1 (t +Т) и / 2 (t+ Т) также являются его решениями и, следовательно, могут быть представлены в виде линейной комбинации первоначальных функций 00 Ф (t) = ~ (~Jok cos k6t + vk sin k'1t). ( 1.13)

/1 (t + Т)= aнft (t) + а12/2 (t) • } /2 (t + Т)= а21/1 (t) + а22/2 (t) ·

("1.14)

Здесь aik- некоторые постоянные.

Итак, добавление к t периода сводится к линейному преобразованию исходной системы решений. Если вместо первоначально выбранных решений / 1, 2 (t) взять какие-либо другие линейно независимые решения, то коэффициенты преобразования (1.14), вообще говоря, изменятся. В част ности, можно попробовать выбрать такие решения /;, 2 (t), что в преобразовании (1.14) обратятся в нуль побочные коэффициенты