Динамическая устойчивость упругих систем

249

§ 45)

УРАВНЕНИЯ СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Если N(x) >О всюду в интервале О, l, т. е. если стержень сжат по всей длине, то все реэультаты теории симметричных уравнениЯ с нагруженным ядром немедленно прилагаются к уравнению (11.38). Так, условие ортогональ ности (11.21) принимает вид 1 r d<}i do!J" . N (х) dx d'x dx = oik· (11.39) о Но согласно (11.36) N(x) ddфk =- _!_ Qk(x), Х а где Qk(x)- поперечная сила, соответствующая k-Я форме потери устойчивости. Подставляя в (11.39) и применяя фор мулу интегрирования по частям, находим: l J Фi (х) dQk (х) = - aйik· о Таким обраэом, работа упругих сил k-й формы потери устойчивости на перемещениях l-Я формы равна нулю. Здесь имеет место полная аналогия с эадачей собственных колебаниЯ. Билинейное раэложение ( 11. 16) для уравнения ( 11. 38) имеет вид СХ> ifAK (х, е) _ ~ _1_ d<\1" (х) dф" (;) дх д; - ~ ak dx de ' k=1 nричем этот ряд при сделанных оговорках относительно N(x) сходится абсолютно и равномерно. Интегрируя, получаем:

СХ> К(х, Е)= ~ф"(х)фk(;)+с. ~ ak k=1

Если стержень хотя бы в одной точке xi имеет жесткую опору, то К (xi, Е)= ·~k (xi) =О и, следовательно, С= О. Билинейное раэложение принимает вид

(11.40)