Динамическая устойчивость упругих систем

246

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГЛ. Xl

Применяя формулу (11.26), nриходим к уравнению 1 1 v(x, t)+ r m(E)K(x, Е) д2ид~· t) d;= r К(х, E)p(E)cos6td;. о а· Подстановкой v(x, t) =ер (х) cos 6t оно nриводится к неоднородному уравнению Фредгольма 1 ер (х)-Л f т (Е) К (х, Е) ер (Е) dE = f(x), (11.34) о где nараметр Л= 6 2 , а f(x)- статический nрогиб от ампли тудного значения нагрузки: 1 f(x)= f К(х; E)p(E)d;. (11.35) о Теоремы Фредгольма (§ 42) легко nереводятся на язык теории колебаний. В частности, неразрешимость неоднород ного уравнения nри значении nараметра Л, совnадающем с одним из Лk,-это обычный резонанс вынужденных коле баний (6 = wk). Однако даже в случае синхронизма частот резонанс может и не настуnить, если внешняя нагрузка удовлетворяет условию (11.11). Раскроем его смысл. Под ставляя (11.35) в (11.11), находим: z l J J К(х, E)epk(x)p(e)dxd;=O. о о Но вследствие симметрии ядра 1 f ~k {е) К(х, E)epk(x)dx =---т,;-· о Отсюда nолучаем, что внешняя нагрузка должна быть орто гональна к соответствующей форме колебаний 1 f р (Е) epk (Е) d;, о