Динамическая устойчивость упругих систем

245

§ 44]

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ

Здесь

(11.33) Мы пришли, таким образом, к интегральному уравнению с симметричным ядром К (х, Е) и «весовой» функцией т (Е), которая является существенно положительной. Спектр фун даментальных функций

дает совокупность форм собственных колебаний, спектр фундаментальных чисел

(1)~ ••••

-совокупность частот собственных колебаний. Веществен ность собственных частот следует из того, что, во-первых, ядро к (х, е)- симметричное, во-вторых, определенно по ложительное. Последнее вытекает из рассмотрения инте гральной квадратичной формы ( 11.17), которая с точностью до 1/ 9 равна потенциальной энергии, накопленной в системе с нагрузкой р (х). Условие ортогональности (11.21) приобретает ясный ме ханический смысл: работа сил инерции l-й формы колебаний на перемещениях k-й формы равна нулю. Легко истолко вывается также и теорема Гильберта-Шмидта. «Истокооб разно» представленная функция

l f(x)= f К(х, E)p(E)dE о

есть не что иное, как прогиб от· действия пекоторой нагрузки р (х); следовательно, теорема означает в данном случае возможность разложения прогибов от любой на грузки р (х) в равномерно и абсолютно сходящиеся ряды по формам собственных колебаний. Такие ряды по «балочным» функциям применяют весьма часто. 3. Рассмотрим теперь задачу о вынужденных колебаниях. Пусть система загружена поперечной нагрузкой

q~(x, t)=p(x)cosfJt.