Динамическая устойчивость упругих систем

243

§ 44)

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ

а в этих точках

Очевидно, функция Q(x)- обычная поперечная сила. Условимся, что на концах стержня поперечная сила равна нулю (хотя, конечно, может быть отлична от нуля в сосед нем, бесконечно близком сечении). Условимся также отно сительно правила знаков. Прогиб v (х) и нагрузку q (х) будем считать положительными, если они направлены вниз (вдоль оси Оу). Но тогда из определения функции Q(x) следует правило знаков для поперечной силы: будем считать ее положительной, когда она стремится повернуть элемент балки против часовой стрелки. Функция Q (х) монотонно возрастающей, вообще говоря, не является, однако весь формальный аппарат теории ин тегралов Стильтьеса применим и в этом случае. Объединяя формулы (11.25) и (11.26), получим: l v(x)= J К(х, e)dQ(~). (11.27) о Можно, впрочем, преобразовать эту формулу к интегра лу Римана. Применим к (11.27) формулу интегриро вания по частям ( 11.22). Учитывая, что Q (О)= Q (l) =О, по лучаем: z v(x)=- f дК~~· Е> Q(E)dE. (11.28) о Дифференцирование ядра К (х, Е) законно, так как все его производные до третьего порядка включительно по каждому из аргументов существуют. Например, :х [EJ(x) д~~~~·. Е)]= Q(x, Е).

Q(x,

где

Е)-поперечная сила в любом сечении от

EJ- жесткость при

единичной сосредоточенной силы,

изгибе. 2. Составим уравнение собственных колебаний балки с распределенной массой т (х). Определяя по формуле (11.26)

16*