Динамическая устойчивость упругих систем

[гл. xr

240

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

распределения М (х). Эта функция обладает еще одним важным свойством. Легко видеть, что М (xk) >М (xi), если xk > xi, т. е. функция М (х)-.монотонно возрастающая. Составим выражение Ь n 1= J f(x)т(x)dx+ ~f(xk)Mk, а k=1 состоящее из интеграла в обычном смысле и конечной суммы. Этот обобщенный интеграл называется интегралом Стильтьеса и обозначается ь 1= J f(x)dM(x). а Интеграл Стильтьеса обладает всеми основными свой ствами обJJчного интеграла 1) В дальнейшем нам понадобится формула интегрирова ния по частям J f(x)dM(x)=f(x)M(x)I-J M(x)df(x), (11.22) а а а аналогичная общеизвестной формуле для интеграла Римана. Если f (х)-дифференцируемая функция, то df(x) = :~ dx; в этом случае формула (11.22) позволяет преобразовать интеграл Стильтьеса в интеграл в об.,Iчном смысле. Рассмотрим интегральное уравнение ь ь ь

ь Ч1 (х)- л f к (х, е) dQ(;) = f(x), а

где К (х, ~)-симметричное ядро. Если функция распреде ления Q (х)- монотонно возрастающая, то все результаты классической теории линейных интегральных уравнений рас-

') Об 9ТОМ см., например, Г n и в е и к о В. И., Интеграл Стипь тьеса, ОНТИ, 1936.