Динамическая устойчивость упругих систем

237

§ 43]

СИММ!ТРИ4НЬl! ИНf!tРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИ~

откуда

00 К (х, Е),_, ~ Ч'k (x~.:k (е).

(11.16)

k~t

Это-так называемая билине/J.ная формула для ядра. Ряд (11.16) сходится не для всех ядер. Ядро К(х, Е) называется определенно положительным, если для всех непрерывных функций р (х) аналог квадратичной формы

ь ь 1= J J К(х, E)p(x)p(E)dxd';

(11.17)

а а

принимает только положительные значения. В этом случае все фундаментальные числа ядра положительны .. Согласно теореме Мерсера, если К (х, Е)- определенно положительное ядро, .то ряд (11.16) сходится абсолютно и равномерно. В теории интегральных уравнений доказывается, что теорема Мерсера остается справедливой также для тех ядер, кото рые имеют конечное число отрицательных фундаментальных чисел. 2. Рассмотрим неоднородное уравнение (11.3). Записав его в виде ь q>(x)=f(x)+Л f К(х, ~)q>(;)d;, а ( 11.18) замечаем, что второе слагаемое в правой части представ лено «истокообразно» при помощи К (х, ~) [роль «истока» играет функция q> (Е) и, следовательно, к нему применима теорема Гильберта-Шмидта]. Отсюда вытекает возможность разложения в абсолютно и равномерно сходящийся ряд 00 q> (х) = f (х) + ~ ak!fk (х). k~l Для отыскания коэффициентов ряда преобразуем ( 11.18) к виду

ь g(x)= Л f К(х, E)[!IO+g(;)Jd;, а