Динамическая устойчивость упругих систем

236

[гл. Xl

ТЕОРИЯ.ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

симметричных ядер вещественны, а фундаментальные функ ции-вэаимно ортогональны: ь f 'Pi (х) 'Pk (х) dx = oik• (11.12) а Рассмотрим вопрос о раэложении пекотороЯ функции f(x) в ряд по фундаментальным функциям симметричного ядра

00 f(x)~ ~fk'Pk (х).

(11.13)

k=1

Здесь

ь fk= f f(e}tpk(~)d;.

(11.14)

а

· Фундаментальные функции проиэвольного симметричного ядра К (х, е) полноЯ системы, вообще говоря, не составляют. Поэтому ряд (11.13) может и не сходиться к функции f(x). Установление класса функциЯ, которые могут быть пред ставлены в виде ряда по фундаментальным функциям ядра К (х, е), является важной эадачеЯ; эту задачу решает иэве стная теоре.м,а Гильберта-Ш.м,идта. Функция f(x) называется представленноя «исmоl€ообразн.о» через ядро к (х, е). если существует непрерывная функ ция р (х), такая, что

ь . f(x)= f К(х, e)p(e)d~.

(11.15)

а

Теорема Гильберта-Шмидта гласит, что функция /(х), представленная истокообраэно при помощи ядра К(х, е). раэлагается в равномерно сходящиltся ряд по фундаменталь· НЫМ фуНКЦИЯМ ЭТОГО Ядра. Само ядро К(х, ~) также может быть формально раэло жено в ряд (11.13). Согласно (11.14)

ь А= J К(х, e)'Pk(~)de= 'fk~:>, а