Динамическая устойчивость упругих систем

231

§ 41)

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Большое значение имеет задача о представлении произ вольной функции f(x) в виде ряда по ортонормированной системе функЦий

00 f (х) .--- ~ ai'Pi (х). i=1

(11.2)

Такой ряд называют обобщенны.м. рядо.м. Фурье. Коэффи циенты Фурье ak определим, умножая ряд почленно на 'Pk(x) и интегрируя в интервале а, Ь. Используя (11.1), получим: ь ak = J f(x) 'Pk (х) dx. а Числа ak представляЮт собой «проекции» функционального вектора f (х) на направление вектора 'Pk (х). Сходимость ряда (11.2) еще не означает, что его сумма равна f(x). Для того чтобы ряд (11.2) для любой функции f(x) схо дился к этой функции, необходимо, чтобы система !{1 1 (х), ~ 2 (х), ... , 'Pn (х), . . . была полной. 2. Линейному преобразованию в п-мерном nространстве соответствует интегральное преобразование ь F(x)= J К(х, ~)J(e)dE. а Функция двух nеременных К (х, Е) является аналогом матрицы nреобразования; эта функция называется ядро.м.. В дальнейшем мы встретимся только с ядрами, ограничен ными и неnрерывными относительно обоих аргументов. ~ожно nостроить алгебру ядер, во многом наnоминаю щую матричную алгебру. Так, nроизведение двух ядер К (х, Е) и L (х, Е) определяется как новое ядро

ь М(х, Е)= f К(х, тj}L('Ij, E)d'lj. а

«Стеnени» ядер

ь К 2 (х, Е)= f К (х, 'lj) К ('lj, Е) d; "