Динамическая устойчивость упругих систем

230

[гл. х1

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ

называются взаи.мно ортогональны.ми в интервале а, Ь. Скалярное произведение функции самоА на себя определяет длину вектора в функциональном пространстве; если длина вектора равна единице ь J q>2(x)dx= 1, а то такую функцию будем называть нор.мированноа. Выписанные формулы аналогичны соответствующим фор мулам для векторов в n-мерном пространстве с тем лишь отличием, что операция суммирования заменена интегриро ванием в интервале а, Ь. О функциях ср 1 (х), ср 9 (х), ... , ер" (х), ортогональных и нормированных ь J cpi(x)cpk(x)dx=oik (11.1) а (оik-символ Кронекера), говорят, что они составляют орто нор.мированную систему. Простейшим примером ортогональных систем являются системы тригонометрических функций. Так, функции ортогональны в интервале О, 2'1t. Для нормирования нужно каждую из них разделить на у;. Система называется noлнofJ. (замкнутой), если не суще ствует функции, не принадлежащей к системе и ортогональ ной ко всем функциям этой системы. В противном случае система имеет пропуски и называется неполноfJ.. Например, приведеиная выше система является неполной, потому что, скажем, функция cosx ортогональна в интервале О, 2'1t' ко всем функциям системы. В теории рядов Фурье доказывается, что полноя будет система sin х, sin 2х, sin Зх, ...

1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ...