Динамическая устойчивость упругих систем

225

§ 39)

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ

Матрица С симметричной, вообще говоря, не является. 5удут ли все ее характеристические числа вещественными? Обозначим диагональную матрицу М=(т 1 , т 2 , ••• , тпl· Тогда С= КМ. и уравнение (10.29) принимает вид t~- w~KMt~ = О. 1 Введя новый вектор 11 = M2t~, где 1 м"2 = !V т 1 , V т~, ... , V т,.), (10.32)

перепишем (10.32) в виде 1

1 М-211-ш 2 КМ2 11=0,

1 или после умноженИя слева на м2 1 1

ll-w'~M'iKM211=0.

1

1

Характеристические числа матрицы м2км2 попрежнему равны 1/w?., однако эта матрица является симметричной. Следовательно, все сказанное в отношении симметричных матриц сохраняет силу для матриц типа КМ. В частности, условие ортогональности (10.17) принимает вид

i=k, l =1= k

при

(10.33)

при

и истолковывается следующим образом: работа инерционных сил l-й формы колебаний на перемещениях k-й формы (l =1= k) всегда равна нулю. 3. В ряде случаев удобна несколько иная трактовка задачи о собственных колебаниях. Вернемся к уравнению (10.27) Су"+у=О. 15 Зц. 1035. В. В. Б0110'111И