Динамическая устойчивость упругих систем

223

§ 39]

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ

можных форм потери статической устойчивости. В дальней шем мы, естественно, ограничимся статически устойчивыми системами. 2. После сделанных предварительных замечаний перей дем к составлению уравнений собственных колебаний. Система, точкам которой даны отклонения от положения статического равновесия, будучи предоставлена самой себе, . " находится под действием сил инерции- miYi (i = 1, 2, 3, ... , n). Вычисляя по формуле (10.24) прогиб в любой точке n ~" " Yi =- .6-J oikmkyk (i=1, 2, 3, ... , n), k=1 получаем уравнения собственных колебаний n ,., ~ " .6-J mkoikYk + Yi =О · (i = 1, 2, 3, ... , п). (1 0.26) k=1 Эта система обыкновенных дифференциальных· уравнений может быть записана в виде одного матричного уравнения. Введем матрицу С с элементами cik=m"oik· Обозначив, далее, через у" вектор, составляющие которого равны вторым производным от составляющих вектора у, перепишем систему (10.26) в виде 1) Су"+ у= о. (10.27) Будем разыскивать свободные гармонические колебания: у= t1 siп (wt+ j), (10.28) г де w- частота колебаний, "(-начальная фаза, t~-вектор, составляющие которого равны амплитудам колебаний сосре доточенных масс:

tl=

Vn 1) Заметим, что часто уравнения собственных колебаний запи сывают через элеме-нты матрицы с-1, т. е. через коэффициенты жесткости системы.