Динамическая устойчивость упругих систем

222

[гл. х

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ

числа -

корни уравнения

0 1n 0 2n

0 12

о 11 -Л

022- i.

0 21

=0

' . "ш~-л

. ~~~2

o,l1

-вещественны. Если заданная система статически устойчива, то, как можно показать, все хара"теристичес"ие числа .матрицы. пере.мещений положительны.. Доказательство этого важ ного свойства требует рассмотрения потенциальной энергии деформации. Пусть балка загружена n сосредоточенными силами Р 1 , Р 2 , Р 9 , ••• , Pn. Перемещение i-A точки от действия этих сил будет: n Yi= ~aikPk. k=l а потенциальная энергия деформации n n и= ; ~ ~ aikPiPk. k=1i=1 (10.24) (10.25) Из формулы (10.25) видно, что потенциальная энергия деформации является квадратичной формоя внешних сил, причем матрица этоА квадратичной формы совпадает с ма трицей перемещениА. Но по своему смыслу потенциальная энергия деформации есть величина положительная; отсюда следует положительность всех характеристических чисел матрицы перемещениА. Оговорка насчет устойчивости заданной системы весьма существенна. Если система статически неустоАчива, то квад ратичная форма (10.25), где aik определяются с учетом параметрической нагрузки 1), может принимать также и отрицательные значения. Число отрицательных характери стических чисел матрицы перемещениА определяет тогда степень неустойчивости заданной системы, т. е. число воз 1) Например, в случае стержня, сжатого продольной силой, «единичные• перемещения o;k находятся с учетом продольно-попе· речного изгиба.