Динамическая устойчивость упругих систем

220

[гл. х

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ

Существует бесчисленное множество таких преобразо ваний, среди которЫх остановимся на ортогональном пре образовании (В"= в-1). Формула (10.23) принимает ВИД

С=В-1АВ.

Таким образом, чтобы привести квадратичную форму к сумме квадратов при помощи ортогонального преобразо вания, нужно привести к главным осям ее матрицу. Тогда

n (f/ (Yl• У2• У3• • • · • Уп) = ~ ).ky~. k=t

Остановимся кратко на классификации квадратичных форм. Если при всех вещественных значениях xk квадратич ная форма остается положительной и лишь при х 1 = х 9 = ... . . . = Xn =О обращается в нуль, она называется опреде ленно положительной. Квадратичная форма, примимающая только отрицательные значения, называется определенно отрицательной. Если форма может принимать значения раз личных знаков, она называется знакопере.м.енной. Тип квадратичной формы легко устанавливается, если она приведена каким-либо способом к сумме квадратов. Так, если все коэффициенты при квадратах переменных оказались положительными, то форма-определенно положительная (и наоборот). Из сказанного следует вывод, который понадобится в дальнейшем. Если квадратичная форма-определенно поло жительная, то все характеристические числа ее матрицы положительны.

§ 39. Собственные колебания упругих систем с конечным числом степеней свободы

1. Задача собственных колебаний систем с конечным числом степеней свободы находится в связи с изложенной выше алгебраической теорией приведения матриц к диаго нальному виду. Проследим эту связь. Рассмотрим упругую систему с п степенями свободы. Удобной моделью такой системы является балка, несущая п сосредоточенных масс (фиг. 85). Деформированное состоя-