Динамическая устойчивость упругих систем

219

§ 38)

ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ

ной формой n переменных х 1 , х 2 , xJ, ... , xn наэывается однородный полином второй степени n n ffJ (xl, х2, Х;~, •.• ' Хп) = ~ ~ aikxixk, i=1 k=1 (10.19) где полагается, что a 1 k = aki· Каждой квадратичной форме приводится в соответствие матрица ее коэффициентов

aln

йн й12

А=

anl an2 йпп которая, очевидно, является симметричной.

Выясним, как преобраэуется матрица А при пере ходе от переменных х 1 , х 2 , ••• , Xn к новым переменным

n Xi= ~ hikYk· k=1

(10.20)

Подставляя (10.20) в (10.19), получим преобраэованную форму

n n ffJ (yl' У2• • • · • Уп) = ~ ~ CikJiYk• i=1 k=t

(10.21)

где

n

n

cik = cki = ~ h,.;, ~ a,. 8 hsk·

(10.22)

r=1

~=1 Обоэначив череэ В и С матрицы с элементами hik и c1k соответственно, перепишем (1 0.22) в виде С= В*АВ. (10.23) Преобраэование (10.20) может быть подобрано таким обраэом, что матрица С окажется диагональной С= [с 1 , с 2 , с 5 , ••• , С 11 ). В этом случае квадратичная форма (10.21) не будет содер жать произведений координат или, как говорят, приведется к сумме квадратов: п ffJ (Yt• У9• Yu• · · · • Уп) = ~ CkYk· k=1