Динамическая устойчивость упругих систем

22 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ (ГЛ. 1

а tJ-k- величина, которую мы будем называть коэффициен том возбуждения (1.9) Поскольку уравнение (1. 7) идентично для всех форм коле баний, т. е. для всех k, мы будем в дальнейшем опускать индексы при Qk и !J-k• записывая это уравнение в виде f' + Q 9 (1- 2:--- cos 6t)f= О. (1.10) UJтрихами обозначается дифференцирование по времени. 3. Уравнение (1.10) представляет собой известное урав н.ен.ие Матье. В более общем случае, когда продольная сила изменяется по закону Р (t) = Р 0 + РtФ (t), где Ф (t)- периодическая функция с периодом Т ф (t +Т)= ф (t), f' +Q'![1-2:---Ф (t)]/= О. Такое уравнение, более общее, чем уравнение Матье, назы вается обычно уравн.ен.ие.м Хилла. Уравнения Матье-Хилла встречаются в различных обла стях физики и техники. Так, к подобным уравнениям при водят некоторые задачи теоретической физики, в частности задача о распространении электромагнитных волн в средах с периодической структурой. В квантовой теории металлов к уравнению Матье-Хилла приводит задача о движении электрона в кристаллической решетке. Уравнение Матье Хилла встречается при исследовании устойчивости колеба тельных процессов в нелинейных системах, в теории пара метрического возбуждения электрических колебаний и других разделах теории колебаний. К уравнению Хилла приводят также некоторые задачи небесной механики и космогонии, в частности теория движения Луны. Исследованию уравнения Матье-Хилла посвящена обшир ная литература 1). Одно из наиболее интересных свойств 1) См., например, С т ре т т М. Д., Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике. ДНТВУ, 1935; М а к- Л ах л а н Н. 8., Теория 11 приложения функций Матье. ИЛ, 1953. придем к уравнению