Динамическая устойчивость упругих систем

21

§ 1]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАДАЧИ

граничным условиям задачи, требующим в данном случае, чтобы на к'онцах стержня прогиб вместе со второй произ водной обращался в нуль. Напомним, что «фундаментальные функции» () .kтtx cpk Х = SIП -,- ЯВЛЯЮТСЯ формами собственных колебаний и формами потери статической устойчивости для шарнирно опертого стержня. Подстановка (1.3) в уравнение (1.2) дает: Для того чтобы выражение (1.3) действительно удовле творяло уравнению (1.2), необходимо и достаточно, чтобы при любом t обращалась в нуль квадратная скобка. Иначе говоря, функция А (t) должна удовлетворять дифференциаль ному уравнению ~{зk +w:(1-Po+;:kcosO~A=O (k= 1, 2, 3, ... ) (1.4) В уравнении (1.4) введены обозначения для k-й частоты собственных колебаний незагруженного стержня k2тt2 ~ r в1 wk=---zг V m (1.5) и для k-й критической сильi (звездочка, поставленная внизу, обозначает в дальнейшем критическое значение данной величины) (1.6) Представляется удобным придать уравнению (1.4) вид d 2 fk + 2 .dt~ Qk(1-2!J-kCOs6t)fk=0 (k= 1, 2, 3, ... ), (1.7) г де gk- частота собственных колебаний стержня, загру женного ~остоянной составляющей продольной силы gk=wk~r1-~. (1.8) V P.k [ d2f k + EJk4тc4fk _ (Р + р Ot) k'Aтr. 2 fk] • kтtx· _О m dt3 [4 О t COS /2 SIП 1 - •