Динамическая устойчивость упругих систем

20 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ (ГЛ. 1

оно' выражает теперь условие равенства нулю суммы про екций на ось Оу всех сил, действующих на единицу длины стержня. Чтобы переЯти к уравнению поперечных колебаниИ стер жня под действием периодической продольной силы Р (t) = Р 0 + Pt cos 6t, достаточно ввести в уравнение (1.1) дополнительные сла гаемые, учитывающие силы инерции. Как это делается обычно в прикладной теории колебаниЯ, эдесь не учитываются силы инерции, связанные с вращением nоперечных сечениЯ стержня относительно своих главных осея. Влияние инерции вращения становится ощутимым только для стержней, nоперечные размеры которых соизмеримы с их длиноА, например для стержнеИ типа оболочек. Учет влияния nродольных сил инерции отложим до сле дующих глав. Пока заметим, что продольные силы инерции могут существенно повлиять на динамическую устойчивость стержня только в том слуЧае, если частота внешней силы близка к частоте собственных nродольных колебаниИ стерж ня, т. е. когда продольные колебания носят резонансный Характер. Будем считать в дальнейшем, что система нахо дИтся вне резонанса nродольных колебания. При сделанных оговорках силы инерции, действующие на стержень, сводятся к расnределенной нагрузке, интенсив Ность которой составляет iJ?.fJ -т дt2, r де т-масса стержня, отнесенная к единице его длины. Итак, приходим к следующему уравнению д4fJ iJ?.fJ д?v EJ дx 4 +(P 0 +Ptcos6t) дх 3 +т дtз =0, (1.2) nозволяющему определить динамическиЯ прогиб стержня v (х, t) в любой момент времени. 2. Будем искать решение уравнения ( 1.2) в форме v(x, t)=fk(t)siп k~x (k= 1, 2, 3, ..•), (1.3) г де А (t)- неизвестные nока функции времени, l- длина стержня. Легко видеть, 'что выражение (1.3) удовлетворяет