Динамическая устойчивость упругих систем

213

§ 38]

ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ

Уравнение ( 1 О. 1 2), которое может быть записано кратко /A-I.Ej=O, называется характеристическим уравнением матрицы А; оно имеет n корней Л 1 , Л 9 , ... , Лп, называемых характери стическими чисЛами или собственными значениями ма трицы А. Если все характеристические числа различны между собой, то матрица и будет диагональным представленнем исходноЯ матрицы А. Простеllший случай приведения линейного преобразования с д~умя переменными к диагональному виду мы уже имели по существу в § 2, п. 1. Для определения собственных векторов fJk поступим сле дующим образом. Подставим в уравнения (10.11) характери стическое ЧИСЛО Ak = А1 И, ОТбрОСИВ ОДНО ИЗ уравнеНИЙ (из n уравнений .только n- 1 будут линейно независимыми), решим систему относительно составляющих v, 1. При этом n- 1 составляющих окажутся выраженными через одну, например v11 , которая останется неопределенной. Другими словами, компоненты собственного вектора vi1 определяются лишь с точностью до некоторого постоянного множителя. Чтобы устранить эту неопределенность, собственные векторы обычно нормируют, т. е. выбирают множитель таким образом, чтобы длина вектора оказалась равной единице: Аналогично определяются составляющие остальных n- 1 собственных векторов. ~атрица, образованная по столбцам из n собственных векторов fJ 1, f1 2, ... , flп, и является иско моя матрицей преобразования V. 3. Существенный интерес представляют условия, при которых две~. матрицы А и В одновременно приводятся к главным ~осям. Покажем, что коммутативность двух матриц ~является~ необходимым условием одновременного их приведения:..к_диагональному виду.