Динамическая устойчивость упругих систем

211

§ 38)

ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ

ному преобразованию с неособенноя матрицей U. Вектор х (х 10 х 2 , ••• , хп) преобразуется при этом в новый вектор х' (х~. х~ • ... , х~). составляющие которого выражаются через составляющие старого вектора: x'=Ux. Аналогично преобразуется и вектор у: y'=Uy. Определяя из этих формул первоначальные значения векто ров и подставляя их в (10.7), получим: у'= UAU- 1 x'. Итак, в новой системе координат преобразование (1 О. 7) будет осуществляться матрицей А'= UAU- 1 • (10.8) Матрицы А и А', связанные между собой соотноше нием (1 0.8), называются подобн.ы.м.и. Между собой они, ко нечно, не равны, но в геометрическом смысле эквивалентны, поскольку осуществляют одно и то же преобразование, выраженное в разных координатных системах. Среди бесчисленного множества координатных систем исключительный интерес представляет одна система-та, в которой матрица преобразования принимает простейшия, диагональный вид А'= [Л 1 , Л 2 , ./..3 ••• Лnl· Если такая система координат существует, то преобразова ние, осуществляемое в староЯ системе матрицей А, своди лось бы в новых осях просто к растяжению вдоль этих осей (k = 1, 2, ... , n). 2. Введя новую матрицу V = u- 1 , представим фор мулу (10.8) в виде AV= VA' 1 Yk = л ' kxk

или, если развернуть: n

(i, k = 1, 2, ... , n).

(10.9)

~ aiJvJk = 'V.;,kлk J=1