Динамическая устойчивость упругих систем

210

[гл. х

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ

умножению всех элементов на одно и то же число:

АВ=а.В. Понятие произведения матриц может быть распростра нено на случай трех и большего числа сомножителей. В частности, можно дать определение т-й степени матрицы: А 111 =А·А ... А. т раз 3. Пользуясь введенными выше правилами сложения и умножения матриц, можно построить матричную алгебру, во многом напоминающую обычную алгебру комплексных чисел. Существует, впрочем, одно существенное отличие. Это отличие вь1зывается неко.м..м.утативностью у.м.ножения матриц, т. е. зависимостью результата умножения от по рядка ~омножителей. Другими словами, если А и В-две произвольные матрицы, то, вообще говоря, АВ =1= ВА. Имеются, однако, классы матриц, которые коммутируют между собой. Таковы, например, все и.иагональные матрицы. Коммутируют между собой также степени одной и той же матрицы или, если взять более общий случай, функции од ной и той же матрицы. Над такими матрицами можно про изводить действия, как над обычными числами. Например, в полной аналогии с рядом 1 -1 -= 1 +х+х9+ ... +xm+ ... -х (Е-А)- 1 =Е+А +А 2 + ... +А 111 + ... Сходимость этого ряда должна быть рассмотрена особо. § 38. Приведение матриц к диагональному виду. Характеристическое уравнение 1. Рассмотрим преобразование у=АХ (10.7) и выясним, как будет меняться матрица А, если мы под вергнем исходную систему координ'iт пекоторому линей- можно написать разложение