Динамическая устойчивость упругих систем

208

[гл. х

9ЛЕМЕНТЬ1 ТЕОРИИ МАТРИЦ

Если все диагональные элементы равны между собоИ

то такая матрица называется скалярной. В частности, ма трица, у котороИ все диагональные элементы равны единиt(е Е=[1, 1, 1, ... , 1), называется единичной; как увидим в дальнеИшем, эта матрица в алгебре матрйц играет роль единицы. 2. Для построения теории матриц более удобной оказы вается несколько иная трактовка линейных алгебраических систем. Соотношения

а11Х1 + а12Х9 + ···+ alnxn = У1• ) й21Х1 + а22Х2 + · ·· + a2nXn = У2• ............... ап1Х1 + ап2Х2 + • •• + annXn = Уп

(10.5)

будем рассматривать как формулы линейного преобразова ния n переменных (xl' х 2 , ••• , Хп) к новым n переменным (у 1 • у 2 , ••• , Уп>~ Матрица А с элементами aik характеризует в этом случае линейное преобразование вектора в про странстве n измерениЯ х (х 1 , х 2 , ••• , Хп) к новому вектору у (yl' У2• •••• уп): у=Ах. Так, единичная матрица Е, которая оставляет вектор х без изменения, соответствует тождественному преобразо ванию, а скалярная матрица-умножению всех компо нент вектора на одно и то же ч~сло cz (преобразованию подобия). Определим теперь основные действия над матрицами. Су.м.мой двух .матриц А и В будем .называть такую третью матрицу А+ В, преобразование с помощью кqтороЯ какого либо вектора дает результат, равный сумме двух отдельных riреобразованиЯ: Ах+ Вх = (А+ В) х.