Динамическая устойчивость упругих систем

§ 36)

203

СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИ МЕНЯЮЩЕЙСЯ МАССОЙ

Уравнение (9.36) было nолучено И н г л и с о м 1), который дал его nриближенное решение для ряда частных случаев. Дальнейшие обобщения рассмотрены автором 2). Представим теnерь, что no балке движется nоследова тельность грузов, отстоящих друг от друга на l. Уравне ние (9.36) оnисывает тогда колебательный nроцесс, который

Фиг. 84.

nри некоторых соотношениях nараметров может соnрово ждаться неограниченным возрастанием амnлитуд. Рассмотрйм однород~ое уравнение, соответствующее (9.36): (l + 2а sin2 kt)f' + 2ak sin 2kt · f' + + (ш~- 2ak2 sinll kt)f =О. (9.37) Все его коэффициенты-nериодические функции времен11 с nериодом тr.fk = lfv. Коэффициенты nри f' и /, однако,­ четные функции времени, а коэффициент nри /'- нечетная функция. Поэтому. вид уравнения (9.37) не меняется nри замене t на - t, и это дает nраво утверждать, что nроизве дение его характеристических корней равно единице 9). Следовательно, как и для уравнения Матье-Хилла, оnре деление границ областей неустойчивости сводится к onpe 1) 1 n g 1 i s С. Е., А mathematlcal treatise оп vibratlons in rallway brid2"es. Cambridge, 1934. 3) Б о л о т и н В. В., Труды МИИТ, вып. 74 (1950), 76 (1952). З) Действительно, одно из частных решений 9Того уравнения может быть представлено в виде (1.21) .! lnp, /(/)=У. (t) ет где р 1 -один из характеристических корней. Но замена t на - t должна давать другое частное реше~ие, откуда ln Ра::::; -ln Р\ и Р3 = 1/Pt·