Динамическая устойчивость упругих систем

190

(гл. IX

I'АСШИI>I!НИВ rРАНИЦ dРИМЕНИМОСtИ ТЕОРИИ

Если nарциальные частоты достаточно близки, т. е. w 1 ::::::::: w 2 , то для соответствующего декремента имеем при ближенную формулу

(9.17)

Пусть, например, декремент затухания собственных ко лебании о= 0,01. Тогда, как показывает формула (9.17), неустойчивость будет обнаружена уже при парциальных частотах, отличающихся на 0,32°/ 0 • Интересно, что в случае си,ли, плоских колебаний (см. § 33)

аналогичные выкладки для гпавной области дают: a.=r.p.=]-(~-1). Заметим, что в отличие от задач, которые рас сматривались ранее, здесь имеется лишь одна область неустойчивости (для систе мы с одной степенью сво боды), а не бесконечная последовательность. 2. Кратко остановимся на нелинейной задаче. Как и в плоском случае, для со ставления нелинейных урав

о~--L-------------- ё./тr (cuzfw,J-1 Фиг. 74.

нений вал необходимо рассматривать как систему с бес конечным числом степеней свободы, учитывая точное выра жение для кривизны и продольную силу, возникающую на продольных перемещениях. В случае вертикального и уравно- . пешениого вала при отсутствии гироскопического эффекта имеем: д' (EJ 9) д ( ди) + (д2u дfl " ) 1 дsD - + дs N дs т (s) дtD - 2w дt -:- w-u = О, Pz (9.18) дD EJ1 д дfl д:lv ди дsа (--р; )+ дs (N дs)+m (s) (дtD +2w дt-w~) =О. Здесь s- дуга, отсчить.ваемая вдоль деформированной оси