Динамическая устойчивость упругих систем

§ 34) 189 где х if у-смещения точки 0 1 , намеряемые вдоль подвиж н;,Jх осей координат. Остальные обозначения остаются преж ними. Исследуем устойчивость нулевого решения (х =у= О) однородной системы, которая соответствует случаю верти кального и полностью уравновешенного вала. Подстаноока ПРОСТРАНСТВЕИНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛА

х = Eeht, у= 11eht

приводит к хар~ктерhстическому уравнению

Нулевое решение устойчиво, пока это уравнение не имеет корней с положительной вещественной частью. Устой чивость будет, очевидно, нарушена в интервале угловых скоростей w 1 < w < w 2• Рассм:>трим теперь влияние затухания, ограничившись случаем «внешнего» трения. С его учетом однородная си стема .примет вид

х" + 2ех'- 2wy'- (w~- w~) х- 2ewy =О, у" +2еу' +2wx' +(w~-w'A)y+2ewy= О.

Составляя характеристическое уравнение для этой системы, приходим к условию устойчивости

(9.16)

Легко видеть, что затухание сужает область неустойчивости. При достаточно большом затухании, как и в задаче о дина мической устойчивости сжатого стержня, потеря устойчивости прямолинейной формы вообще невоаможна (фиг. 74). Здесь уместно ввести понятие о критическом. коэффициенте за тухания, для КО1;Орого нетрудно получить формулу