Динамическая устойчивость упругих систем

§ 32) РАСПРОСТРАНЕНИЕ Р!ЗУЛЬТАТОВ НА ДРУГИЕ ЗАДАЧИ

181

удается добиться полного разделения переменных х и t при помощи подстановки типа (9.4) г де /(t)- функция только t, ер (х)- функция только х. В общем же случае такое разделение невозможно 1). 3. Если формы собственных колебаний системы и формы потери статической устойчивости достаточно близки друг к другу, что естественно ожидать во многих задачах, осо бенно для первых (основных) форм, то можно попробовать искать приближенное решение в виде (9.4) Для этой цели больше всего подходит вариационный метод Галеркина. Рассмотрим, например, стержень перемениого сечения, сжатый переменной по длине продольной силой N(x, t). Уравнение этой задачи имеет вид v(x, t) = f(t)r:p (х),

iJ2 ( дх2 EJ дх2 + дх iJ2v ) д [

дv ]

iJ2v

(9.5)

N(x, t) дх +т дt2 =О.

Пусть, далее, где Р 0 и Pt- параметры, с точностью до которых задана внешняя нагрузка (другими словами, предполагается, что постоянная и периодическая составляющие меняются пропорционально этим двум параметрам). Подставляя (9.4) в (9.5) и применяя метод Галеркина, получим: N(x, t) = N(x)(P 0 +PtcosfJt),

7 +f(t)(P 0 +PtcosfJt) J r:p :x[N(x) :;]dx=O. о

1) Это было отмечено впервые Б. 3. Брачков с к и м, Прикл. ма1ем. и мех. 6, вып. 1 (1942). См. также статью автора в сборн. «Поперечные колебания и критические -скорости\}, вып. 2, Иэд. АН СССР, 1953 и статью Г. Ю. Д ж а н е л и д з е в Трудах Ленингр. ин-та инженеров водного транспорта, вып. 20, 1953. Подробно этот вопрос будет рассмотрен в двенадцатой главе книги.