Динамическая устойчивость упругих систем

180

(гл. 1Х

РАСШИРЕНМЕ tРАНИЦ ПРИМЕНИМОСТИ 1'E0Piflf

или с учетом (9.3):

о,~2ш." { 1

(Po±~Pty р2 * mlo

2. Укажем на некоторые другие задачи, которые также приводят к уравнениям типа (9.2). Такова задача о динами ческой устойчивости кругового кольца, сжатого равномерно распределенной радиальной нагрузкой (фиг. 1, б), задача об устойчивости прямоугольной пластинки, опертой по всему контуру и загруженной периодическими силами, равномерно распределенными вдоль каждой из сторон (фиг. 1, в), и некоторые другие 1). Например, в первом случае получаем уравнение F" + 2 1 1 q 0 + qt cos !lt) , _ 0 Jk Wk\ - Jk- qk (k = 1, 2, 3 ... ), г.t.~.е wk- частоты собственных изгибных колебаний кольца, qk- критические значения для соответствующей статической задачи. Было бы, однако, ошибочным думать, что любая задача динамической устойчивости непременно приводит к уравне нию Матье-Хилла. Скорее рассмотренные выше случаи являются исключениями (так называемый особый случай). Достаточно взять какой-либо другой тип опирания стержня, или стержень перемениого сечения,. или, наконец, случай переменной по длине продольной силы, чтобы сведение задачи к уравнению типа (9.2) стало невозможным 9). В общем случае задачи динамической устойчивости требуют рассмотрения систем дифференциальных уравнений с перио дическими коэффициентами. Нетрудно подметить то общее, что объединяет указан ные выше п"ростейшие задачи. Во всех перечисленных слу чаях формы собственных колебаний системы и соответствую щие формы потери статической устойчивости совпадают. Благодаря э.тому в уравнениях с частными пронаводными 1) Подробный разбор этих случаев будет дан в третьей части (§§ 76, 96 и др.). 2) Примером ошибочного подхода к этому вопросу может слу жить статья К 1 о t t е r К .• lng. Arch. 18, .1'11!! 6 (1950).