Динамическая устойчивость упругих систем

178

[гл. IX

РАСШИР!НИ! rРАНИЦ dРИМ!НИМОСТИ ТЕОРИИ

отпора). Следовательно, уравнение будет 1 ) д4fJ д'"и iJZrJ EJ дx 4 +(P 0 +Ptcos6t) дх 3 +~v+т дfl. =0. (9.1) Легко заметить, что выражение ( 1.3) v(x, t) = fk(t) sin k;x (k = 1, 2, 3, ...), г де А (t)- искомые функции времени, этому уравнению удовлетворяет. Подстаноока приводит к уравнениям ти па (1.4) ! "+ 2 ( 1 - P 0 +Ptcos6t) 1 =О k . wk Р~с Jk (k = 1, 2, 3, ... ) (9.2)

с тем лишь отличием, что

2 _ _!_(k4'1t4EJ+q) wk- т /4 г • k2тr.2EJ Pl"' Pk=-,-a -+ k'lтr."'"

Аналогичные уравнения получим, рассматривая случай бесконечно длинной балки. В этом случае уравнение (9.1) будет удовлетворено, если положить: v (х, t) = f(t, Л) sin 'lt: , где длина полуволны Л может принимать любые значения от нуля до бесконечности. Подставляя, вновь приходим к уравнениям (9.2), в которых роль значка k выполняет уже величина Л; от нее коэффициенты уравнений зависят, как от параметра: w'!(Л) = ~ ('lt 4 ~J + ~), 1t 2 EJ РЛ 2 Р.(Л) =---w-+--;ta. 1) Такой подход к колебаниям балок на упругом основании является распространенным. Отметим, однако, что учитывать упруrий отпор основания, пренебрегая его инерционным воздействием, довольно нелогично. Вводя более совершенную модель (упругое и материальное полупространство или слой конечной глубины), найдем, что «приведенная масса» основания является суrцественной функцией формы колебаний.