Динамическая устойчивость упругих систем

169

§ 311

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ АМПЛИТУД

§ 31. Определение установившихек амплитуд с учетом продольных колебаний 1. Поскольку дальнейшие выкладки будут иметь лишь оценочный характер, уnростим несколько расчетную схему. Рассмотрим случ~й. когда масса, сосредоточенная на конце, достаточно велика по сравнению с массой стержня, чтобы nоследней можно было nренебречь nри составлении уравне ний nродольных колебаний. Перемещение nодвижного конца по формуле (8.1) будет:

rr;3f3 'W=и+4Г•

(8.15)

Уравнения nродольных и nоnеречных колебаний имеют вид

MLw" = P 0 +Ptcos6t-N, /"+w'l(1- ~ )!=0,

EF где N = - 1- и-nродольная сила, возникающая в стержне. С учетом (8.15) nолучаем систему уравнений:

rr;3 1 и"+ w~.,u + 2Т [(/')9 + //"] = М (Р 0 + Pt cos 6t), L

} (8.16)

Здесь wL- собственная частота nродольных колебаний

~ГЕР WL= V /ML' Приближенное решение системы (8.16) будем искать в виде и (t) = И 0 + Ut cos 6t, } f(t) = asin ~ , (8.17) где И 0 , Ut и а-nостоянные, nодлежащие оnределению. Подставляя (8.17) в уравнения· (8.16) и nриравнивая