Динамическая устойчивость упругих систем

167

§ 30]

ОБЛАСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

где Л= lfi- гибкость стержня (i'A = 1/F). График зависи мости ~(Л) при Р 0 =О представлен на фиг. 64. Даже при гибкости Л= 40 ~ = 0,10 и ~L •• = 2,0. Таким образом, слия ние областей неустойчивости- явление исключительное даже для стержней малой гибкости. Поправка же к критической частоте может быть довольно велика. Раскладывая радикал

в формуле (8.13) в бином, полу чим приближенную формулу для <>бласти, лежащей вблизи n = 1: п: = 1 :±: ,...1 1-2~ При гибкости Л= 40 и 1.1. = 0,1 ширина области с учетом про дольных колебаний будет при мерно на 3°/ 0 больше, чем по обычным формулам; при ), = 100 влияние продольных колебаний не превышает 1°/ 0 •

ft

\

о.з

il

0.2 0.1

\

r---..... - 20 40 60 80 il

о

Фиг. 64. 3. До сих пор затухание не учитывалось. Между тем, его учет необходим для объяснения того очевидного факта, что неустойчивость прямолинейной формы наступает лишь при достаточно больших коэффициентах ft· Мы покажем сейчас, что затухание оказывает особенно большое влияние на поведение системы вблизи 6 = wL. Прежде всего введем в уравнение (8.11) дополнительное слагаемое, учитывающее «поперечное» затухание: /" + 2ef' + Q 2 (1- 2·~;J cos Ot)j =О. Далее, изменим способ вычисления коэффициента ф. При наличии «продольного» затухания формула (8.12) непри годна, поскольку она соответствует безграничному возраста- . нию и 0 (х, t) при О~ wL. По аналогии с (8.12) запишем: 1 ·~ = --.====~===:=== · _r ~ 2 • V (1- ~n2)2+ ~п2( -f-) r де oL- декремент затухания продольных колебаний. Эта величина представляет собой динамический коэффициент, вычисленный в отличие от {8. 12) с учетом затухания.