Динамическая устойчивость упругих систем

162

(гл. vш

О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ КОЛЕБАНИЙ

колебаний. Это особенно относится к случаю резонанса относи тельно высших собственных частот. 2. Составим дифференциальные уравнения, учитывающие взаимное влияние продольных и поперечных колебаниИ. Пусть и (х, t)- продольное перемещение сечений стержня вследствие деформациИ сжатия (фиг. 2). Полно~ продольное перемещение с точностью до величин второго порядка

(8.1)

Продольная сила в любом сечении

(8.2)

Учитывая, что

(8.3)

получаем после использования (8.1) и (8.2) и почленного дифференцирования: :D д2u- д2и_ r [ди ~+(~)2] ~ EF дх2 т дt2 -т . д; д; дtЗ д; дt d •. о Второе уравнение, связывающее и (х, t) и v (х, t), вим, рассматривая деформацию изгиба д4v д ( ди) д'Аv EJ дх4 + дх N дх +т дt~ =О. Используя (8.3), получим: д4v д (ди дv) д~v EJ дх4 + EF дх дх дх +т дtз =О. Краевые условия для и (х, t), очевидно, будут: u(O, t) =О, ) ди (/, t) ,, 1 EF ~ = P 0 +Pt cos vt. Краевые условия для v(x, t) остаются прежними. (8.4) соста- (8.5) (8.6)