Динамическая устойчивость упругих систем

159

§ 28]

ТРЕТИЙ И ПОСЛЕДУЮЩИЙ РЕЗОНАНСЫ

§ 28. Третий и последующий резонансы Мы не будем проводить здесь подробных вычислений, относящихся к побочным резонансам, и ограничимся лишь консервативным случаем. Амnлитуды параметрически возбуждаемых колебаниЯ при k-м резонансе приближенно определим из уравнений (ш'il- {k~.!6 11 )а~с+Ф~с(а~с)=0 (k= 1, 2, 3, ...). (7.16) Эти уравнения получаются из уравнений (5. 7) и (5:9), если отбросить в них члены, учитывающие затухание и взаимное влияние гармоник. Рассмотрим случай нелинейной инерционности ф(/, f', /') = 2xf[(/') 2 + //'). Подставляя приближенное решение для k-го резонанса f(t) = ak sin k:t

в выражение для нелинейной функции, находим:

в i kOt+

, (f / 1 /" , , у

k2011

... ,

)=-тxa~csn

2

т. е.

1 1 9 8 Ф~с(а~с) =- 4 k 6 ха1с·

Уравнения (7.16) примимают вид ( k11011) k1103

8 1 -- ak- -ха1с-= О, 4ш11 4ш'

откуда

а = 2ш ~Гk3611_ 1 " kO ~ V 4wll

(k = 1, 2, 3, ...). (7.17)

Эта формула носит, конечно, сугубо приближенный характер. Так, вместо двух решений, которые дает более nодробный анализ, по этой формуле получается только одно решение. Тем не менее, формула (7.17) позволяет сделать некоторые общие выводы насчет сравнительной величины амплитуд при резонансах различной кратности.