Динамическая устойчивость упругих систем

152

[г л. vп

ПОБОЧНЫЕ РЕЗОНАНСЫ

характера собственных частот и нелинеltности системы. Анализ, основанныlt на линеltных дифференциальных урав нениях 1), тоже имеет ограниченную сферу применения: он годится только при малых коэффициентах возбуждения (!!- < !-'.) и теряет какоlt-либо смысл с приближением ко второlt области динамическоИ неустоlt чивости. Рассмотрим задачу о колебаниях Pg+ qcos Ot стержня, имеющего начальное искрив ление v 0 (x) (фиг. 57). Дифференциаль

ное уравнение линеltноlt задачи имеет ВИД д4v д?v д2v EJ дх 4 + (Р 0 + Pt cos Ot) дх'~-+т дt 2 = =-(P 0 +P,cosfJt) ~~о (динамическиlt nрогиб отсчиты~ается от искривленноlt оси стержня). Полагая v(x, t)=f(t)sin r~x, () ~.т:х Vo Х = JO Stn - 1-,

Фиг. 57.

nосле подстанов:<и и небольших преобразованиlt приходим к следующему обыкновенному дифференциальному урав нению: w2fo f' + Q 1 (1- 2;J. cos Ot) f =/:Г (Р 0 + Pt cos Ot). ,. Если добавить в это уравнение члены, учитывающие зату хание и нелинеltность системы, получим: f' + 2-=./' + Q'~(l- 2;J.cosbl)/+•i(/. /', f') = w2fo = -p(P 0 +PtcosГU). (7.7) "' Так учитывается влияние начальноlt кривизны. Чтобы учесть эксцентриситет, nоступим следующим образом. Раз

1) М е t t 1 е r Е., Forsch•Jngshefte aus Oeblet des Stahlbaues, н. 4 (1941).